来源：算法与数学之美
（注：年8月8日我们也曾发过与复数相关的一篇：《复数的物理意义》（可点击查看））
看得懂的复数--溯源复数的物理意义
编辑：Gmini
上几天在群内，网友“南方的风”在咨询信号系统问题，涉及到离散傅立叶变换复数问题。我因为之前写过“看得懂的傅立叶变换”，大家希望我解答一下。
说实在，我虽然对于傅立叶变换的物理意义比较了解，也能自己根据自己的感性理解可以推导出公司，但对于复杂的一些比如离散傅立叶等，却没有仔细分析过，因为用不着。
群内大部分网友都认为这个东西，就是一顿数学的推导，用matlab套用公式做几个例子就差不多了，至于很详细的，尤其是感性的理解，完全没有。
对于他的问题，我无法直接回答，但是，关于傅立叶变换本身不复杂，但引入了复数之后，因为大家对复数的物理意义都不懂，最后都是属于理性的公式推导，但最后的结果的物理意义是什么，大家却都不明白，只知道一堆的数学公式，这个是一种本末导致，所以我认为有必要先搞明白复数的物理意义，只有看得懂复数，有它的感性认识，那么基于它的推理才可能有感性，深刻的认识。
对于复数，长期困扰着我，无法理解，因为老师从来没有跟我们解释过它的物理意义，只是把结果告诉我们，让我们死记硬背。对于一个无法理解的东西而又想要去理解，最好的办法是溯源，去了解它的历史：
复数，最早是在解一元三次方程的时候引入的，当时解一元三次方程，很难解，引入了一个符号
设为J，J*J=-1,可以比较容易的解了这个方程，但带j的那个解，不被大家认可。这是虚数第一次出现，但到了后来，高次解之后，大家发现，j越来越绕不开，并且有规律，N次方程，就有N个包含带J的解，于是大家认识到一点，一个高次方程，要想解它的解，最佳的捷径就是从J入手，到了高斯时期，高斯对这个J进行了研究，那个时候是笛卡尔坐标系，但他第一个把J引入坐标系，于是出来了复数坐标系，但他的物理意义是什么呢？他把这个物理意义跟平面坐标的矢量四则运算结合起来，若J*J=-1，恰好满足一个平面坐标的矢量四则运算，那个时候他意识到，J真是存在，J的物理意义就是表示另外一个坐标轴，它是一个坐标轴的符号，为了区别X轴，引入Y轴，那么必须要用符号标记，所以J是坐标Y轴的符号，这就是它的物理意义，于是就有了a+bJ。
有了复平面其实就是用一个数来表征一个平面数据，而J只是一个符号，那么这个符号的四则运算肯定不同于数字运算逻辑，假如符号运算逻辑跟数字运算逻辑等价，是不可以理解的，那么这样下，J*J=-1,这个就可以理解了，J*J=1反而不能理解，因为这个J是符号，这个是符号的四则运算逻辑，它必须要跟数字的运算逻辑不同，甚至相反。而现在恰恰相反，满足了我们的实际需要，这样数学进入了平面时代。
那个时候三角函数发明了，并且非常兴起，而三角函数是典型的平面坐标体系，于是大家想到了用复平面来表征三角函数，这个里面，欧拉做了最大的贡献，那就是欧拉公式:^iπ+1=0。它把数的基本逻辑搞明白了，出来了完美的公式，而后期的傅立叶变换，大家也开始引入了正交复平面坐标系来表征一维信号，发现得到了一个完美统一的表达方式：用正交复平面坐标系来描述，这个相对于常规的，用三角函数正交坐标系描述，在形式上更统一。但是，三角函数正交系（普通傅立叶变换）的表达都让很多人晕乎了，何况还是的正交复平面坐标系，这个就导致了理解上的难度。其次，我们的教育，虚数是在高中时期引入的，那个时候老师根本不明白虚数的意义，到了大学，我们往往把结果当成了真理来运用，不去溯源而忘乎了复数的历史起源，可以说，复数的起源，是很多初期数学家困惑的东西，就如同量子理论一样，大家都在不停的否定中，被迫承认，后来发现好处，尤其形式上的完美统一，最后，反而进入了自我循环的独立体系，却最后忘记了它的根本，任何东西，必须要有物理意义，抛弃物理意义，只是推导，那只需要计算机就可以了，不需要人。
复数的引入，最大的价值，让我们的思维开阔了，可以引入N维度的思维，这个在实际中有很多应用，而基于这种思维的应用，一般都是可以做一些高、精、尖的产品，以避免同质化竞争。
有人在StackExchang问了一个问题：
"我一直觉得虚数（imaginarynumbr）很难懂。
中学老师说，虚数就是-1的平方根。
可是，什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！
直到今天，我也没有搞懂。谁能解释，虚数到底是什么？
它有什么用？"
帖子的下面，很多人给出了自己的解释，还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》 (+1)*(逆时针旋转90度)*(逆时针旋转90度)=(-1)
如果把+1消去，这个式子就变为：
(逆时针旋转90度)^2=(-1)
将"逆时针旋转90度"记为i：
i^2=(-1)
这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。
所以，我们可以知道，虚数i就是逆时针旋转90度，i不是一个数，而是一个旋转量。
二、复数的定义
既然i表示旋转量，我们就可以用i，表示任何实数的旋转状态。
将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。
只要确定横坐标和纵坐标，比如(1,i)，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。
数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用+号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把(1,i)表示成1+i。这种表示方法就叫做复数（ (3+4i)*(1+i)=(-1+7i)
所以，该船的新航向是-1+7i。
如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是i，所以新航向等于：
(3+4i)*i=(-4+3i)
这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。
五、虚数乘法的数学证明
为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？
下面就是它的数学证明，实际上很简单。
任何复数a+bi，都可以改写成旋转半径r与横轴夹角θ的形式。
假定现有两个复数a+bi和c+di，可以将它们改写如下：
a+bi=r1*(cosα+isinα)
c+di=r2*(cosβ+isinβ)
这两个复数相乘，(a+bi)(c+di)就相当于
r1*r2*(cosα+isinα)*(cosβ+isinβ)
展开后面的乘式，得到
cosα*cosβ-sinα*sinβ+i(cosα*sinβ+sinα*cosβ)
根据三角函数公式，上面的式子就等于
cos(α+β)+isin(α+β)
所以，
(a+bi)(c+di) ＝ r1*r2*(cos(α+β)+isin(α+β))
这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。
（完）
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